理想弹塑性材料应力分布规律

我们先来看一个问题。

这个问题源自王玉镯、傅传国编著的《abaqus结构工程分析及实例详解》第2.3节的型钢梁的分析，此型钢梁截面采用HM300×200×8×12，两端简支，跨度6m，现满跨承受向下作用在上翼缘表面Q=3.5e5N/m²的均布力，试分析梁内应力。

钢梁的材料特性为：弹性模量E=2.1e11N/m²，泊松比μ=0.3，屈服强度为fy=3.45e8N/m²，材料进入屈服后认为强度不再发展，不考虑损伤。

看到这道题，很多同学都会心一笑：这不就是简单的一道静定结构的内力计算吗，这还不简单，直接背公式：M=ql²/8，将数带入即可求解。

但细心的同学会发现，倘若按照弹性计算的结果，会发现跨中部分的截面承受的正应力已超过屈服强度。也就是说，现在弹性结果不符合实际受力情况。

材料进入了弹塑性阶段。也就是说，材料的截面受力应该是如下图所示状况。

在上面的计算中，我们默认为材料的弹性阶段，应力与距截面中和轴的距离成正比，塑性发展阶段是从截面最大处向低处发展。因此，截面惯性矩就不再适用于这个阶段，我们需要用数值积分的思想来确定截面的内力。

截面部分进入塑性，那么究竟弹性区高度he取多少呢？需要我们用到塑性力学的相关知识来求解。求解如下：

按照以上分析结果，求得的he是复数，很显然，表明结构跨中出截面已全部进入塑性，并且，往两边继续发展。

在这里，说明一下塑性的含义，在理想弹塑性材料中，认为截面有部分区域的应力达到屈服强度，表明材料部分屈服；截面各点应力全部达到屈服强度，表明材料截面整体达到屈服，也就是达到塑性极限。

那么，当结构承受此题所示的荷载时，有一点是已知的了：跨中处截面达到塑性极限，并且将会有一段发展的区域，那么这段发展的区域如何求解呢？我们可以先求解两端未达至塑性极限的区域长度，然后再与软件模拟结果相比较，增加自己对塑性的理解。

对于上述计算，大家要明确，材料的极限承载力Ms求解是根据截面各微元的受力与距中和轴距离乘积的积分求得，现在该截面处的应力是一常数σs，故仅需计算翼缘、腹板面积与形心到中和轴距离成绩之和，然后乘以应力，即为截面的极限承载力。

最后，我们再来用abaqus软件模拟的结果与理论计算作对比。软件模拟结果如下：

本工程模型在网格划分时，翼缘和腹板均采用50×50尺寸的四边形单元，因此，在长度方向上共有120个单元格彼此相连。我们统计出，全部进入屈服的截面（即图中沿高度方向自上而下均是红色部分的截面）有36个单位截面，左右两边各42个单位截面是非塑性流动截面。从而得到左中右三个部分的长度比是1.2：1：1.2。这是软件模拟比。

我们通过手算得到的左中右三个部分的长度比是2.17：1.66：2.17=1.3：1：1.3。二者相差控制在可接受范围内。造成这一误差的现象还可以进一步研究，在这里不予详述。